Temesváron érettségizett, 1982-ben szerzett diplomát a kolozsvári Babeş-Bolyai Egyetem jogi karán. Kézdivásárhelyen és Brassóban ügyvédkedett, szívműtétre sikerült Magyarországra távoznia, ahol aztán 1988-ban a Bibó István Szakkollégium nevelőtanára lett, emellett pedig az Eötvös Loránd Tudományegyetem Állam- és Jogtudományi Karán kezdett tanítani. 1989-től a Minisztertanács nemzeti és etnikai kisebbségekkel foglalkozó hivatalában dolgozott, 1990-től 1991-ig pedig a Miniszterelnöki Hivatal kormányfőtanácsosa volt.
1991-ben szakértőként részt vett az ENSZ Emberi Jogi Bizottságának azon eseti csoportjában, amely a kisebbségek jogainak deklarációját dolgozta ki. Az 1990-es évektől szakértőként részt vett az Európa Tanács kisebbségvédelmi bizottságában is. 1992-től 1998-ig ő volt az ENSZ különleges jelentéstevője Szudánban, ahol munkáját széles körű nemzetközi figyelem kísérte, az iszlám fanatikusai pedig vérdíjat tűztek ki a fejére. Közben aktívan részt vett a magyarországi kisebbségi törvény kidolgozásában, amelyért 1995-ben kormánykitüntetést kapott.
Bíró Gáspár 1998-tól 2004-ig, majd 2008-tól 2012-ig az Európa Tanácsnak a Nemzeti Kisebbségek Keretegyezményének végrehajtását felügyelő egyik szakértője volt, 2004 és 2006 között pedig az ENSZ emberi jogokat védelmező és előmozdító albizottságának szakértője volt. 1996 és 2005 között az ELTE Politikatudományi Intézetének docense, 2005-től pedig egyetemi tanára volt. 1997-ben szerzett doktori fokozatot. A Magyar Politikatudományi Társaság elnökségi tagja volt. Az ELTE mellett számos külföldi egyetemen is tartott előadásokat a nemzetközi politikai viszonyokról és a kisebbségvédelemről Srí Lankától Macedóniáig.
A Magyar Külügyi Intézet közleményében azt írta: mély megrendüléssel értesültek Bíró Gáspár haláláról. Munkatársaik 1990 óta álltak szoros munka- és baráti kapcsolatban a tudóssal, aki 1990-től a Dunatáj Intézet munkatársa volt, 1992-től 1998-ig pedig annak a Teleki László Alapítványnak volt a kutatója, amelynek keretébe az intézet is tartozott. Többször volt előadója a Bálványosi Nyári Szabadegyetemnek is. Korai halála nemcsak a magyar tudományosságnak, hanem az oktatásügynek is fájó, pótolhatatlan veszteség.